问题引出——小木棍

有一些同样长的小木棍，把这些木棍随意砍成几段。

现在，想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己开始时有多少根木棍和它们的长度。

给出每段小木棍的长度，求原始木棍的最小可能长度。

问题分析——形式化描述

• 输入：$\langle n, a_1, a_2, \cdots, a_n\rangle$。
• 约束 $\mathcal M(x)=\left\lbrace \langle m,\lbrace S_1, S_2, \cdots, S_m\rbrace \right\rbrace$， 其中的集合满足 $\sum_{S_1}=\sum_{S_2}=\cdots=\sum_{S_m}$ 且 $\lbrace S_i\rbrace$ 构成 $\lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n\rbrace$ 的一个划分。
• 代价：$m$。
• 目标：最大化。（即最小化 $sum/m$）

问题分析——性质

1. 显然 $m\mid \sum a_i$。
2. 可知 $m\le n$，可以多项式时间枚举 $m$，故 $A=\sum a_i/m$ 每组的和得以确定。则只需解决一个判定问题

问题分析——回溯算法

可以分组确定：先确定第一组的组成，再是第二组的组成。

使用回溯算法，用 $S(S_1, S_2, \cdots, S_{i-1}, \lbrace b_1, b_2, \cdots, b_t\rbrace)$，表示已经确定了前 $i-1$ 组，第 $i$ 组已经选定了 $\lbrace b_1, b_2, \cdots, b_{t}\rbrace\subseteq S_i$ 这些元素。

则状态转移可以决定下一个 $b_{t+1}\in S_i$ 使得总和 $\le A$。

问题分析——分支定界

观察，可以 pre-compute 进行对搜索树的裁剪：

1. 对于 $b_1$，一定选择第一个当前未取过的，因为它一定要包含在某组内（该步不进行分支）。且在替代时从前往后尝试。
2. 将 $a_i$ 从大到小排序，在某次失败时跳过之后连续几个相同的 $a_i$。

最大团问题

最大团问题：求图中的最大团的阶。

• 是很经典的 NP Complete。考虑使用局部搜索尝试获得 Local Optima

Neibourhood

每个可行解是一个团 $V\subseteq G$。考虑在 $V$ 中加入一个顶点 $x$ 作为其非平凡邻居。

• 但是 $V\cup\lbrace x\rbrace$ 不一定是团：$x$ 不一定和 $V$ 中所有点都有边。
• 设 $x$ 的邻点是 $N(x)$，则 $V'=(V\cap N(x))\cup\lbrace x\rbrace$ 是团。定义为 $V$ 的邻居。

证明 Neibourhood

• 自反性：定义为平凡邻居
• 对称性：容易发现该定义是不对称的，但若将其视作有向图，则它是强连通的。
• 可达性：每次加入目标团的一个顶点，显然可达。