引言

[1] (Orlin, 2013) 给出了一种在任意图上 $O(nm)$ 的网络最大流算法。

前置结果和本文贡献

[1] 中的若干证明用到了一些前置结果：

• [2] (King et al., 1994) 给出了强多项式 $O(nm\log_{m/(n\log n)})$ 的算法。对于任意 $m=\Omega(n^{1+\epsilon})$，该算法都是 $O(nm)$ 的。
• [3] (Goldberg & Rao, 1998) 给出了弱多项式的算法，每轮将 $\Delta$ bounded 的最大流问题转化为 $\Delta/2$ bounded 的最大流问题，每轮时间为 $O(\min\lbrace n^{2/3}, m^{1/2}\rbrace\cdot m\log (n^2/m))$。

可以发现，需要攻克的仅在于 $m$ 不超过多项式地渐进大于 $n$ 时。

本文提出 $O(nm+m^{31/16}\log^2n)$ 的算法。当 $m=O(n^{(16/15)-\epsilon})$ 时，该结果是 $O(nm)$ 的。

和上文第一个结果相结合，得到了对任意图 $O(nm)$ 的网络最大流算法。

主要思路

主要利用某种方法套用了 Goldberg 的结果：若最大流为 $U$，则时间为 $$ T(n)=\tilde O(\min\lbrace n^{2/3}, m^{1/2}\rbrace\cdot m\log U). $$

• 若 $\log U\le m^{7/16}$，则有

$$ T(n)=\tilde O(m^{1/2}\cdot m\cdot m^{7/16})=\tilde O(m^{31/16}), $$

已然满足条件。

主要思路

• 若 $\log U\le m^{7/16}$，则在每轮前，把原图压缩成 $C$ 顶点、$O(C^2)$ 边的图。平均 $C=O(m/\log U)$，则单轮中 $n'=C, m'=O(C^2)$，带入有单轮时间为

$$ \tilde O(C^{2/3}\cdot C^2)=\tilde O(C^{8/3}). $$

于是 $O(\log U)$ 轮总时间为

$$ T(n)=\tilde O(C^{8/3}\log U)=\tilde O(m^{8/3}\log^{-5/3}U)=\tilde O(m^{8/3}\cdot (m^{7/16})^{-5/3})=\tilde O(m^{16/31}). $$

故问题的核心在于：要寻求一种压缩方式使得平均 $C=O(m/\log U)$，且对于流的影响较小。

基本方法

[1] 提出的算法同样由 $O(\log U)$ 构成，每轮的步骤是：

1. 收缩(comtraction)。

2. 压缩（算法的核心）。

3. 运行 Goldberg。

4. 恢复对应到原图。

Abundant Arc

每轮算法的输入和输出都表示为 $(r, S, T)$，其中 $r$ 是残余网络，$C_{S, T}$ 是一组源汇割。可知在残余网络中至多还可以增长 $c(S, T)$ 的流，记作流上限 $\Delta=c(S, T)$（和 Goldberg 中的 $\Delta$ 同义）。

Abundant Arc: 若有一边 $r(e)\ge 2\Delta$，则称其为 $\Delta$-Abundant Arc.

Theorem: 若在某轮算法中，输入为 $(r, S, T): \Delta$，输出为 $(r', S', T'): \Delta'$，且若 $r(e)\ge 2\Delta$ 是 $\Delta$-Abundant Arc，则在结束后，$r'(e)\ge 2\Delta'$ 是 $\Delta'$-Abundant Arc.

Proof: 设 $e$ 增广了 $x$，即 $r(e)-r'(e)=x$，则有 $\Delta'\le \Delta-x$。故而

$$ r'(e)=r(e)-x \ge 2\Delta-x \ge 2(\Delta'+x)-x \ge 2\Delta', $$

故而 Abundant Arc 集合只会增加，不会减少。

收缩

对输入 $(r, S, T)$，可以先将 Abundant Arc 环收缩：在收缩后的图上的流，必然可以满足收缩前的图的流。

对于算法的 3. 运行 Goldberg，为了证明的方便，假设结束后的流 $\Delta'\le \Delta/(8m)$。可以发现复杂度只影响对数因子。

四类弧

把图中所有弧分为四类：

• Little Arc($L$)：弧 $\langle i, j\rangle$ 满足 $c(\langle i, j\rangle) + c(\langle j, i\rangle)< \Delta/(64m^3)$.
• Medium Arc($M$): 弧 $\langle i, j\rangle$ 满足上式 $\ge \Delta/(64m^3)$，但正、反向弧都不是 Abundant Edge。
• Abundant Arc($A$)。
• Anti Abundant Arc($A'$)：反向弧在 $A$ 中的弧。

注意到因为收缩后的图无 Abundant Arc 环，故一条边不能既在 $A$ 中又在 $A'$ 中。$L, M, A, A'$ 构成了弧集的一个划分。

压缩 - 压缩掉一些顶点

如果一个顶点同时满足以下两个条件，则它可以被压缩（Compatible）：

• 与它相邻的边没有 Medium Arc；
• 进入它的 Anti Abundant Arc 的残余容量和与离开它的相差不超过 $\Delta/(16m^2)$。

换言之：一个顶点保留（是 Criticle）的条件是，满足以下条件之一：

• 与它相邻的边有 Medium Arc；
• 进入它的 Anti Abundant Arc 的残余容量和与离开它的相差超过 $\Delta/(16m^2)$。

直观理解，当一个顶点旁边的与 Abundant Arc 无关的边都是微不足道的时候，且 Anti Abundant Arc 流入和流出量基本相抵时，它是不重要的。

压缩 - 忽略掉一些路径

如果一条路径 $P$ 中，存在某条 Little Arc： 则它可以增流的量至多为 $\Delta/(64m^3)$，可以忽略。故只需考虑 $P$ 经过 Medium Arc、Abundant Arc 和 Anti Abundant Arc。

压缩 - 忽略掉一些路径

Claim: $P$ 中若存在 Anti Abundant Subpath 是以 Compatible 顶点为端点，则也可以忽略。

因此，只需考虑的路径是：仅包含 Medium Arc、Abundant Arc、Auti Abundant Path（以 Criticle 顶点为端点）的路径。

于是只需在 Criticle 顶点和以下三种边中运行 Goldberg 最大流算法: 当 $i, j$ 都是 Criticle 时

• Medium 边；
• 伪 Abundant 弧：若在原图中存在 $i\Rightarrow j$ 的 Abundant Path，则有容量为 $2\Delta$ 的 $\langle i, j\rangle$ 弧；
• 伪 Anti Abundant 弧：若在原图中存在 $i\Rightarrow j$ 的 Anti Abundant Path，则有容量为所有这样的路径的残余容量和的弧 $\langle i, j\rangle$。

复杂度证明

Theorem: Criticle 顶点在全部 $O(\log U)$ 轮算法中共 $O(m)$ 个，故每轮平均 $O(m/\log U)$，故开头的复杂度分析正确。

Proof: 注意到对于原图中的弧:

• 对于 Medium Arc，在 $3$ 次操作后一定会变成 Abundant Arc；
• 对于所有相邻弧都不是 Medium Arc，但是因为"进入它的 Anti Abundant Arc 的残余容量和与离开它的相差超过 $\Delta/(16m^2)$"而不能被压缩的 Criticle 顶点，在 $4$ 轮后一定会有一条 Anti Abundant Arc 变为 Abundant Arc，进而形成 Abundant Cycle 被收缩。

主要思想

每次对于残余网络 $r$，进行一次 BFS，按照从 $s$ 的距离得到分层图 $r_d$。

对于 $r_d$ 进行若干次 DFS，找出在 $r_d$ 上 阻塞流，即无法从 $s$ 到 $t$ 得到更多的流(不考虑退流)。

def Dinic(r, s, t):
    maxflow = 0
    flow = 0
    while bfs() gets a connective graph from s to t:
        while True:
            flow = dfs(s, INF)
            maxflow += flow
            if (flow == 0):
                break
    return maxflow

可以看到 Dinic 算法是 Ford-Fulkerson 增广的一种变种，正确性证明和 FF 算法相同，以下主要考虑其复杂度。

算法复杂度

Theorem 1：对于单轮的分层图，DFS 求出阻塞流的复杂度为 $O(nm)$。

Theorem 2: Dinic 算法至多考虑 $O(n)$ 次分层图。

Theorem 3: 从上述两个定理可知，Dinic 算法的总复杂度为 $O(n^2m)$，但对于平均情况（以及特殊网络）有更好的复杂度。

特殊图上的复杂度

• 若网络中全部弧的容量均为 $1$，则 Dinic 算法的复杂度为 $O(m\cdot \min\lbrace n^{2/3}, m^{1/2}\rbrace)$。

• 若网络中全部弧的容量均为 $1$，且除源点和汇点外的每个点均满足 $d^-(u)=1$ 或 $d^+(u)=1$，则 Dinic 算法的复杂度为 $O(m\sqrt n)$。

对于二分图最大匹配，注意到该复杂度与 Hopcroft-Karp 算法相同。实质上，两个算法的本质是相同的。